13. Число

Число: поведенческий аспект

Мы поговорим о числе. Я немного увлёкся поведенческими исследованиями числа, потому что считаю это просто потрясающим. Честно говоря, я думаю, это интереснее, чем многие нейробиологические работы. Эта лекция будет в значительной степени посвящена поведению.

Зачем нам нужно число?

Первое, что нужно осознать: мы используем понятия числа и количества постоянно. Самый очевидный пример — получение сдачи в магазине, хотя, полагаю, это уже не так актуально. Люди скоро забудут, как вычитать, потому что они просто прикладывают кредитную карту или касаются телефоном. Но раньше вы передавали предметы под названием «деньги», получали монеты, и в этом было задействовано вычитание.

Мы используем число, чтобы определять время или, как в моём случае сегодня утром, чтобы ошибиться со временем. Чтобы выбрать больший из двух объектов — это непрерывное понятие количества, а не дискретное понятие числа. Чтобы выбрать самую короткую очередь в продуктовом магазине — всё это сравнение количеств.

Мы берём эти базовые идеи числа и количества и надстраиваем над ними в современных обществах всевозможные удивительные вещи, такие как инженерия. Вся современная наука крайне количественна. Как и вся компьютерная наука. Это действительно фундаментальные идеи.

Число у животных

Животные, как оказалось, способны овладевать очень простыми, но сложными представлениями о числе и даже арифметическими вычислениями. Они могут узнавать о порядке, числе и количестве. Вот краткий обзор ситуаций, в которых животным в дикой природе требуются понятия числа и количества:

• Поиск пищи. Животные тратят много времени, решая, когда прекратить искать здесь, несмотря на уменьшающуюся отдачу, и отправиться в другое место с неизвестным количеством еды. Это целая математика пищевого поведения, связанная с нормой отдачи пищи, её количеством и качеством.
• Формирование групп. Многие животные из разных таксонов учитывают размер групп. Стайные рыбы могут быстро выбрать более многочисленный косяк для присоединения, потому что шансы выжить при встрече с хищником лучше в большем косяке. Вероятность быть съеденным снижается за счёт деления на количество вариантов.
• Охота и стратегия. Львы охотятся группами и должны работать вместе. Они решают, на какие группы хищников нападать, основываясь на численном преимуществе.
• Лягушка N+1. Тунгурукская лягушка, обитающая в тропических лесах Пуэрто-Рико, буквально переигрывает других лягушек. Самцы издают призывный крик, пытаясь звучать привлекательно для самок. Другой самец переигрывает его, добавляя дополнительный крик или компонент. Они систематически добавляют единицу к предыдущему крику, до определённого предела — примерно до четырёх.

Это краткий обзор случаев, когда понимание числа и количества возникает в естественной среде без обучения.

Чувство числа

Один из ведущих мыслителей по этой теме — Стэн Деан. В своей широко цитируемой книге, написанной около 20 лет назад, он сказал, что животные, младенцы и взрослые люди обладают биологически детерминированным домен-специфическим представлением числа. Это довольно экстремальное утверждение. Мы увидим в конце лекции, что он отступил от него.

• Биологически детерминированное — подразумевает врождённое.
• Домен-специфическое — это идея функциональной специфичности. Есть ли у нас специальный ментальный механизм для мышления о числах, отличный от механизмов распознавания лиц, навигации или языка?

Более подробно Стэн говорит, что специфический нейронный субстрат, расположенный в левой внутритеменной области, связан со знанием чисел и их отношений, что он определяет как чувство числа. Домен числа — это главный пример, где веские доказательства указывают на эволюционную предрасположенность к абстрактным домен-специфическим знаниям в мозге.

Что означает чувство числа?

Стэн и другие подразумевают под чувством числа несколько вещей:

1. Представление больших числовых величин без вербального счёта. У вас есть способ представлять, что здесь много вещей, а там меньше.
2. Приблизительность. Способность различать два числа зависит от их соотношения, а не от абсолютной разницы.
3. Абстрактность. Представления не привязаны к определённой визуальной форме. Они обобщаются через модальности, пространство и время.
4. Использование в операциях. Даже без счёта вы можете складывать приблизительные числа.

Эксперимент с точками

Я покажу вам два набора точек. Вы должны сказать, в каком из них больше точек. Вы не считали, а попытались увидеть плотность, насколько близко друг к другу были точки. Число смешивается с площадью, общим количеством жёлтого на экране, и с плотностью. Это большая проблема для исследователей числа. Обычно они варьируют размер объектов и плотность от пробы к пробе.

Без явного счёта вы просто чувствуете, сколько примерно. Это и есть чувство числа — ощущение, что вы можете посмотреть на что-то и получить представление о количестве. Вы стали тише, когда числа стали ближе друг к другу, потому что становится труднее.

Закон Вебера

Вот данные одного исследования. Точность при множестве различных сравнений:

• 16 точек против 32 точек — почти 100% правильны.
• 16 против 24 — отлично.
• 16 против 20 — довольно хорошо.
• 16 против 18 — падение.
• 16 против 17 — невозможно.

Производительность падает, когда числа становятся ближе. Что определяет это падение? Абсолютная разница или соотношение? График показывает, что производительность определяется соотношением количества точек, а не абсолютной разницей. Это глубокий фундаментальный факт. Оценка того, какой из двух стимулов ярче, какой из объектов тяжелее, какой из двух звуков громче — все они следуют этой способности как функции соотношения.

Это называется системой приблизительного числа (ANS). Стандартный тест для измерения числовой остроты: показывается массив, и спрашивается, где больше жёлтых или синих точек. Соотношение жёлтых и синих точек называется дробью Вебера. Эта идея закона Вебера определяет вашу точность на основе только этого соотношения.

Индивидуальные различия

Существуют очень большие индивидуальные различия в числовой точности. Это похоже на то, что мы видели в других областях (навигация, распознавание лиц). Есть люди, которые настолько плохи в этом с раннего возраста, что это похоже на синдром. В данном случае это называется developmental dyscalculia.

Приблизительное чувство числа развивается медленно. Оно лучше всего в возрасте 30 лет. Дробь Вебера уменьшается, а время реакции увеличивается.

Предсказание математических способностей

Ранняя способность к приблизительному числу предсказывает более поздние математические способности. Исследование показало: скорость выполнения задания на оценку точек в детском саду предсказывает точность в арифметических задачах четыре года спустя. Это специфически предсказывает более позднюю арифметическую способность, а не другие виды способностей (например, матрицы Равена).

Символические числа

Теперь перейдём к символическим числам. Я покажу вам несколько чисел, а вы скажете, больше оно 65 или меньше. Когда числа приближаются к 65, вы медленнее. Это означает, что даже когда вы имеете дело с символическими числами, вы всё равно используете некоторое понятие непрерывного количества. Вы находите задание более лёгким, когда числа дальше друг от друга.

Это говорит о том, что даже как высококвалифицированные студенты, занимающиеся гораздо более сложной математикой, вы всё равно используете то же самое непрерывное чувство приблизительного числа.

Абстрактность и операции

Насколько абстрактны эти представления? Эксперимент: первым был массив точек, а вторым — серия тонов. Точность почти такая же при кросс-модальном сравнении, как и в пределах одной модальности. Это показывает, что используемое представление довольно абстрактно. Оно не привязано к зрению или слуху.

Можно ли выполнять операции? Вы можете дать людям массив точек и массив точек, а затем сказать им сложить и спросить, больше или меньше сумма, чем это. Люди складывают эти приблизительные количества. То же самое работает кросс-модально: сложить точки и тоны.

Младенцы

Присутствует ли эта система у очень маленьких младенцев? Исследование на четырёхдневных младенцах. Им предъявляли либо наборы из 12 звуков, либо из четырёх. Младенцы смотрели больше на конгруэнтное число (соответствующее количество визуальных форм). Они могут сделать это, если сравнение 4 против 12, но не очень хорошо, если 4 против 8. У них есть некоторое чувство числа, но оно очень приблизительное. Это также показывает зависимость от соотношения.

Животные

• Меркурий, ара. Должен был методом проб и ошибок выучить порядок нажатия символов, чтобы получить еду. Его брат Марс начал изучать более общую концепцию: символы всегда будут иметь порядок. Это показывает, что самые базовые аспекты познания, связанные с числами, присутствуют у животного, очень отдалённо родственного человеку.
• Шимпанзе Аюму. Сын известной шимпанзе Ай, которая была вундеркиндом в числах. Аюму в основном правильно выполняет задания на порядок.
• Медоносная пчела. У медоносных пчёл один миллион нейронов. Они эволюционно отделились от нас 600 миллионов лет назад. И всё же они могут заниматься арифметикой. Пчёл тренировали: если фигура синяя, они должны прибавить единицу к числу; если жёлтая — вычесть единицу. К 100 пробам они достигают более 80% правильных ответов. Затем они обобщают эту способность на новые числа и формы. Пчела не просто идёт к большему или меньшему числу — она прибавляет или вычитает единицу.